Factorielle supérieure à la somme des n premiers nombres

On pose $$S(n) = \sum\limits_{k=1}^{n}k$$

On sait que $$S(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ qui se démonstre facilement par récurrence (ce n'est pas l'objet ici)

On a aussi $$S(n+1) = S(n) + n+1$$ (formule de récurrence)

Ici, nous voulons montrer que pour tout entier naturel $$n \geq 3$$, on a

$$n! \geq S(n)$$

Initialisation:

Pour $$n=3$$, on a $$S(3) = 3 + 2 + 1 = 6 $$ et $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Donc $$3! \geq S(3)$$

Hérédité

On suppose que pour un certain n entier supérieur ou égale à 3, on a

on a $$n! \geq S(n)$$

Prouvons que $$(n+1)! \geq S(n+1)$$

On a $$(n+1)! = (n+1) \times n! \geq (n+1) \times S(n)$$ par hypothèse de récurrence

Or,

http://www.jeuxvideo.com/forums/1-51-68517731-1-0-1-0-si-factorielle-de-18-120-je-rage-quit.htm