L1 Maths Astuces: Les complexes

Somme d'une somme
$$\sum\limits_{k=k_{1}}^{k_{n}}\left( \sum\limits_{l=l_{1}}^{l_{m}} f(k;l)\right) = \sum\limits_{l=l_{1}}^{l_{m}}\left( \sum\limits_{k=k_{1}}^{k_{n}} f(k;l)\right)$$

Produit de deux somme
$$\left( \sum\limits_{k=k_{1}}^{k_{n}} f(k) \right) \times \left( \sum\limits_{l=l_{1}}^{l_{m}} g(l) \right) = \sum\limits_{k=k_{1}}^{k_{n}}\left( \sum\limits_{l=l_{1}}^{l_{m}} f(k)\times g(l)\right)$$

Fonctions cosinusoïdales
On veut passer de $$a\times cos(\omega \times t) + b \times sin(\omega \times t)$$ à $$A \times cos(\omega \times t + \varphi)$$

Si on est dans un cas $$a\times cos(\omega \times t) + b \times cos(\omega \times t)$$, on peut transformer le en $$a\times cos(\omega \times t) + c \times sin(\omega \times t)$$ en utilisant la formule $$cos(x) = sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

Méthode 1°) On va commencer par travailler dans l'autre sens: on utilise la formule d'addition du cosinus sur $$A \times cos(\omega \times t + \varphi)$$

On rappelle que $$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$$

Donc $$A \times cos(\omega \times t + \varphi) = A \times \left[cos(\omega \times t)cos(\varphi) - sin(\omega \times t)sin(\varphi)\right]$$

$$= Acos(\omega \times t)cos(\varphi) - Asin(\omega \times t)sin(\varphi) = \left[Acos(\varphi)\right] \times cos(\omega \times t) + \left[-Asin(\varphi)\right]\times sin(\omega \times t) = a\times cos(\omega \times t) + b \times sin(\omega \times t)$$

On a donc $$Acos(\varphi) = a$$ et $$Asin(\varphi) = -b$$

Donc $$cos(\varphi) = \frac{a}{A}$$ et $$sin(\varphi) = \frac{-b}{A}$$

On pose $$A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$