Entrainement

On sait que

$$exp'(x) = exp(x)$$ et que $$exp(0) = 1$$

Formule de l'addition
On décide de dériver le quotient $$f(x) = \frac{exp(a+x)}{exp(x)} = \frac{g(x)}{h(x)}$$ avec $$a\in\mathbb{R}$$

Donc $$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}$$

Or, $$g(x) = exp(a+x)$$ donc par composition de la dérivation, $$g'(x) = exp(a+x)$$.

Et $$h(x) = exp(x)$$ donc $$h'(x) = exp(x)$$

Donc $$f'(x) = \frac{exp(a+x)exp(x) - exp(a+x)exp(x)}{exp(x)^{2}} = \frac{0}{exp(x)^{2}} = 0$$

Donc comme $$f'(x) = 0$$, alors $$f(x) = C$$.

En prenant $$x = 0$$, alors $$C = f(0) = \frac{exp(a+0)}{exp(0)} = \frac{exp(a)}{1} = exp(a)$$

Donc $$\frac{exp(a+x)}{exp(x)} = exp(a)$$ donc $$exp(x) \times exp(a) = exp(a+x)$$

D'une manière générale, $$exp(a+b) = exp(a)\times exp(b)$$ avec $$a\in\mathbb{R}$$ et $$b\in\mathcal{D}_{exp}$$

Exponentiation
Soit $$n \in \mathbb{N}^{*}$$

$$exp(n\times a) = exp\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a\right) = \left[exp(a)\right]^{n}$$ d'après la formule d'addition démontrée plus haut.

Démonstration

Ainsi, en prenant $$a = 1$$, $$exp(n) = exp(1)^{n} = e^{n}$$ en posant $$exp(1) = e$$