Règle de l'Hôpital

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Enoncé
On a le quotient $$\frac{f(x)}{g(x)}$$

Si $$f(x)$$ et $$g(x)$$ s’annulent en $$x = a$$, alors on ne peut calculer $$\lim\limits_{x\longrightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$$.

Cependant, si $$\frac{f'(a)}{g'(a)}$$ est défini, alors on peut dire d'après la règle de l'Hôpital, que $$\lim\limits_{x\longrightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$

Première généralisation
On généralise pour des cas où même $$\frac{f'(a)}{g'(a)}$$ n'existe pas forcément.

Si $$g'(x) \ne 0$$, alors on peut dire $$\lim\limits_{x\longrightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\longrightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$$

Ce résultat est valide que $$l$$ soit un réel ou infini.

Deuxième généralisation
La deuxième généralisation est identique à la première, cependant, on généralise d'autant plus en disant que cela s'applique aussi dans le cas $$f$$ et $$g$$ tendent vers l'infini (indépendamment de leur signe) en $$a$$.