Entrainement 2

On veut résoudre $$z^{n} = Z$$

On passe sous forme exponentielle

$$z = re^{i\theta}$$ et $$Z = \rho e^{i\phi}$$

Donc $$(re^{i\theta})^{n} = \rho e^{i\phi}$$

Donc $$r^{n} = \rho$$ donc $$r = \sqrt[n]{\rho}$$

et $$n\theta = \phi + 2k\pi$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Donc $$\theta = \frac{\phi}{n} + k\frac{2\pi}{n}$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Donc il y a $$n$$ solutions $$z_{k} = \sqrt[n]{\rho}e^{i\left(\frac{\phi}{n} + k\frac{2\pi}{n}\right)}$$ avec $$k \in (0;1;...;n-1)$$