De la fonction inverse à la formule d'Euler

Le but de cet exercice est de démontrer la célèbre formule d'Euler $$e^{i\pi}+1 = 0$$ en connaissant uniquement:

- le concept de dérivation, ses propriétés

- le concept d'intégration, ses propriétés

- $$i^{2} = -1$$

- la courbe de la fonction $$\frac{1}{x}$$

La courbe de la fonction inverse
On dispose de la courbe suivante:



On s'intéresse à $$\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$$.

On note cette fonction $$ln(x)$$.

Ainsi, on a donc $$ln(x) = \int\limits_{1}^{x}\left(\frac{1}{t}dt\right)$$

On a donc $$ln(x)$$ la primitive de $$\frac{1}{x}$$ qui s'annule en $$1$$.

Etude de ln
Étudions cette fonction.

On sait que pour tout $$x \in ]0;+\infty[$$, $$\frac{1}{x} > 0$$, donc $$ln(x)$$ est strictement croissante sur $$x \in ]0;+\infty[$$.

On peut donc définir sa fonction réciproque sur $$x \in ]0;+\infty[$$, que l'on note $$exp(x)$$.

Comme $$ln(1) = 0$$, on peut dire que $$exp(0) = 1$$.

Etude de exp
On s'intéresse maintenant à $$exp'(x)$$.

On pose $$y = ln(x)$$, ainsi $$exp(y) = x$$.

On pose aussi $$y_{0} = ln(x_{0})$$, ainsi $$exp(y_{0}) = x_{0}$$.

Ainsi on peut dire que $$\frac{ln(x_{0}) - ln(x)}{x_{0} - x} = \frac{y_{0} - y}{exp(y_{0}) - exp(y)}$$

On a donc $$\lim\limits_{x_{0} \to x}\left(\frac{ln(x_{0}) - ln(x)}{x_{0} - x}\right) = \lim\limits_{y\to y_{0}}\left(\frac{y_{0} - y}{exp(y_{0}) - exp(y)}\right)$$

Donc $$\lim\limits_{x_{0} \to x}\left(\frac{ln(x_{0}) - ln(x)}{x_{0} - x}\right) = \lim\limits_{y\to y_{0}}\left(\frac{1}{\frac{exp(y_{0}) - exp(y)}{y_{0} - y}}\right)$$

Or $$ln'(x) = \lim\limits_{x_{0} \to x}\left(\frac{ln(x_{0}) - ln(x)}{x_{0} - x}\right)$$ et $$exp'(y) = \lim\limits_{y_{0} \to y}\left(\frac{exp(y_{0}) - exp(y)}{y_{0} - y}\right)$$.

On peut donc dire que $$ln'(x) = \frac{1}{exp'(y)}$$.

Donc $$exp'(y) = \frac{1}{ln'(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}}$$ car $$ln'(x) = \frac{1}{x}$$

Donc $$exp'(y) = x$$.

Or, on a dit plus tôt que $$x = exp(y)$$.

Ainsi donc, $$exp'(y) = exp(y)$$.

On peut affirmer que $$exp'(x) = exp(x)$$.

Formule de l'addition
On décide de dériver le quotient $$f(x) = \frac{exp(a+x)}{exp(x)} = \frac{g(x)}{h(x)}$$ avec $$a\in\mathbb{R}$$

Donc $$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}$$

Or, $$g(x) = exp(a+x)$$ donc par composition de la dérivation, $$g'(x) = exp(a+x)$$.

Et $$h(x) = exp(x)$$ donc $$h'(x) = exp(x)$$

Donc $$f'(x) = \frac{exp(a+x)exp(x) - exp(a+x)exp(x)}{exp(x)^{2}} = \frac{0}{exp(x)^{2}} = 0$$

Donc comme $$f'(x) = 0$$, alors $$f(x) = C$$.

En prenant $$x = 0$$, alors $$C = f(0) = \frac{exp(a+0)}{exp(0)} = \frac{exp(a)}{1} = exp(a)$$

Donc $$\frac{exp(a+x)}{exp(x)} = exp(a)$$ donc $$exp(x) \times exp(a) = exp(a+x)$$

D'une manière générale, $$exp(a+b) = exp(a)\times exp(b)$$ avec $$a\in\mathbb{R}$$ et $$b\in\mathcal{D}_{exp}$$

Exponentiation
Soit $$n \in \mathbb{N}^{*}$$

$$exp(n\times a) = exp\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a\right) = \left[exp(a)\right]^{n}$$ d'après la formule d'addition démontrée plus haut (se démontre facilement par récurrence)

Ainsi, en prenant $$a = 1$$, $$exp(n) = exp(1)^{n} = e^{n}$$ en posant $$exp(1) = e$$